Sejarah Persamaan dan Aljabar

Mencari solusi untuk persamaan adalah suatu penelusuran yang bermula dari zaman kuno Mesir dan Babilonia dan dapat ditelusuri melalui matematika awal orang Yunani.     Misalnya, PAPYRUS RHIND, yang berasal dari sekitar 1650 SM, berisi masalah yang berbunyi: Sejumlah; dikurangi dengan jumlah keempatnya. Hasilnya menjadi lima belas. Berapa jumlahnya? Pembaca disarankan untuk menyelesaikan masalah seperti ini dengan metode "posisi palsu," di mana seseorang menebak (memposisikan) solusi yang mungkin salah, dan menyesuaikan tebakan sesuai dengan hasil yang diperoleh.     Dalam contoh ini, untuk membuat pembagian menjadi lebih mudah, seseorang mungkin menebak bahwa jumlahnya adalah empat. Namun, jika 4 ditambahkan dengan jumlah keempatnya, hanya menghasilkan 4 + 1 = 5, yang merupakan sepertiga dari jawaban yang diinginkan, yaitu 15. Dengan mengalikan tebakan tersebut dengan faktor tiga, solusi untuk masalah tersebut ditemukan, yaitu 4 × 3, yang sama dengan 12.          Meskipun metode posisi palsu hanya berfungsi untuk persamaan LINIER dalam bentuk ax = b, namun tetap menjadi alat yang efektif. Sebenarnya, beberapa masalah yang disajikan dalam papirus Rhind cukup rumit dan diselesaikan dengan cepat melalui teknik ini. Lempengan tanah liat yang berasal dari tahun 1700 SM menunjukkan bahwa para matematikawan Babilonia mampu menyelesaikan persamaan KUADRATIK dengan metode MENGISI KOTAK.     Namun, mereka tidak memiliki metode umum untuk penyelesaian dan hanya bekerja dengan sejumlah contoh khusus yang sudah dikerjakan sepenuhnya. Setiap masalah lain yang muncul dicocokkan dengan contoh yang sudah diselesaikan sebelumnya, dan solusinya ditemukan dengan menyesuaikan angka-angka dengan tepat.     Banyak pengetahuan yang dikembangkan oleh peradaban kuno Mesir dan Babilonia diwariskan kepada orang Yunani. Mereka mengambil hal-hal dalam arah yang berbeda dan mulai memeriksa semua masalah secara geometris dengan menafsirkan angka sebagai panjang segmen garis dan hasil perkalian dua angka sebagai luas daerah persegi panjang. Para pengikut PYTHAGORAS dari tahun 540 hingga 250 SM, misalnya, memberikan bukti-bukti geometris dari SIFAT DISTRIBUSI dan rumus BEDA DUA KUADRAT, misalnya, dengan cara yang sangat geometris yang kita gunakan saat ini untuk menjelaskan metode MEMPERLUAS TANDA KURUNG.            Orang Yunani mengalami kesulitan yang cukup besar dalam menyelesaikan persamaan KUBIK, karena praktik mereka dalam menangani masalah secara geometris mengarah pada konstruksi tiga dimensi yang rumit untuk menghadapi perkalian tiga jumlah. Pada saat ini, tidak ada simbol yang digunakan dalam masalah aljabar, dan semua pertanyaan dan solusi ditulis dalam kata-kata (dan diilustrasikan dalam diagram).     Namun, pada abad ketiga, DIOPHANTUS OF ALEXANDRIA memperkenalkan gagasan mempersingkat pernyataan suatu persamaan dengan mengganti jumlah dan operasi yang sering digunakan dengan simbol sebagai jenis singkatan. Fokus baru ini pada simbol memiliki efek yang halus dalam memalingkan pemikiran orang Yunani dari geometri. Sayangnya, gagasan penggunaan simbol tersebut untuk menyelesaikan persamaan diabaikan sampai abad ke-16.                   Pengaruh sekolah pemikiran Babilonia dan Yunani juga mempengaruhi perkembangan matematika di India kuno. Cendekiawan BRAHMAGUPTA (sekitar 598–665) memberikan solusi untuk persamaan kuadratik dan menguraikan metode umum untuk menyelesaikan sistem persamaan yang mengandung beberapa variabel. (Dia juga memiliki pemahaman yang jelas tentang angka negatif dan nyaman bekerja dengan nol sebagai kuantitas numerik yang valid.) Cendekiawan Bhaskara (sekitar 1114–85) menggunakan huruf untuk mewakili kuantitas yang tidak diketahui dan, dalam menangani persamaan kuadratik, mengusulkan bahwa semua angka positif memiliki dua akar kuadrat dan bahwa angka negatif tidak memiliki akar (bermakna).   Langkah signifikan menuju perkembangan aljabar modern terjadi di Baghdad, Irak, pada tahun 825 ketika matematikawan Arab MUHAMMAD IBN MUSA ALKHWARIZMI (sekitar 780–850) menerbitkan karyanya yang terkenal Hisab al-jabr w'al-muqabala (Perhitungan dengan restorasi dan reduksi). Karya ini merupakan penyajian yang jelas dan lengkap pertama tentang seni menyelesaikan persamaan linier dengan praktik baru melakukan operasi yang sama pada kedua sisi persamaan. Sebagai contoh, ekspresi x - 3 = 7 dapat "dikembalikan" menjadi x = 10 dengan menambahkan tiga pada kedua sisi ekspresi tersebut, dan persamaan 5x = 10 dapat "dikurangi" menjadi x = 2 dengan membagi kedua sisi persamaan dengan lima.

Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menyelesaikan persamaan kuadratik melalui teknik serupa. Namun, deskripsi-deskripsinya tidak menggunakan simbol, dan seperti orang Yunani kuno, al-Khwarizmi menulis semuanya dalam kata-kata. Meskipun demikian, risalah al-Khwarizmi sangat berpengaruh, dan pendekatan baru nya dalam menyelesaikan persamaan membuka jalan bagi pemikiran aljabar modern. Bahkan, kata "al-jabr" dalam judul bukunya adalah asal kata algebra yang kita gunakan sekarang.      Karya al-Khwarizmi diterjemahkan ke dalam bahasa Latin oleh matematikawan Italia FIBONACCI (sekitar 1175–1250), dan metode efisiennya dalam menyelesaikan persamaan dengan cepat menyebar di seluruh Eropa selama abad ke-13.     Fibonacci menerjemahkan kata "shai" yang digunakan oleh al-Khwarizmi untuk "hal yang tidak diketahui" ke dalam istilah Latin "res." Dia juga menggunakan kata Italia "cosa" untuk "hal," dan seni aljabar menjadi dikenal di Eropa sebagai "seni kos."         Pada tahun 1545, GIROLAMO CARDANO (1501–1576) menerbitkan Ars magna (Seni besar), yang mencakup solusi untuk persamaan kubik dan persamaan kuartik, serta penemuan matematika lainnya. Pada akhir abad ke-17, para matematikawan nyaman melakukan manipulasi simbolik yang sama seperti yang kita praktikkan hari ini dan bersedia menerima angka negatif dan kuantitas irasional sebagai solusi persamaan. Matematikawan Prancis FRANÇOIS VIÈTE (1540–1603) memperkenalkan sistem efisien untuk menunjukkan pangkat variabel dan menjadi orang pertama yang menggunakan huruf sebagai koefisien sebelum variabel, seperti "$a{x}^2+bx+c$," misalnya. (Viète juga memperkenalkan tanda "+" dan "-", meskipun ia tidak pernah menggunakan tanda sama dengan.) RENÈ DESCARTES (1596–1650) memperkenalkan konvensi menunjukkan kuantitas yang tidak diketahui dengan huruf-huruf terakhir abjad, x, y, dan z, dan kuantitas yang diketahui dengan huruf-huruf pertama, a, b, c. (Konvensi ini sekarang sepenuhnya tertanam; ketika kita melihat, misalnya, suatu persamaan dalam bentuk ax + b = 0, kita mengasumsikan, tanpa pertanyaan, bahwa itu adalah "x" yang harus kita selesaikan.) Matematikawan Jerman CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) membuktikan TEOREMA FUNDAMENTAL ALJABAR pada tahun 1797, yang menyatakan bahwa setiap persamaan POLINOM berderajat n memiliki setidaknya satu dan paling banyak n (mungkin kompleks) akar. Namun, karyanya tidak memberikan metode aktual untuk menemukan akar-akar ini. Renaissance scholars SCIPIONE DEL FERRO (1465–1526) dan NICCOLÒ TARTAGLIA (sekitar 1500-57) keduanya tahu cara menyelesaikan persamaan kubik, dan dalam karyanya Ars magna tahun 1545, Cardano menerbitkan solusi untuk persamaan kuadratik yang ditemukan oleh asistennya LUDOVICO FERRARI (1522-65).     Selama berabad-abad yang berlalu, para ahli matematika mencoba untuk menemukan metode aritmatika umum untuk menyelesaikan semua persamaan kuintik (derajat kelima). LEONHARD EULER (1707-83) menduga bahwa tugas tersebut mungkin tidak mungkin. Antara tahun 1803 dan 1813, matematikawan Italia Paolo Ruffini (1765-1822) menerbitkan sejumlah hasil aljabar yang sangat menyarankan hal yang sama, dan beberapa tahun kemudian matematikawan Norwegia NIELS HENRIK ABEL (1802-29) membuktikan bahwa memang tidak ada rumus umum yang dapat menyelesaikan semua persamaan kuintik dalam jumlah operasi aritmatika yang terbatas. Tentu saja, beberapa persamaan derajat lima dapat diselesaikan secara aljabar. (Persamaan berbentuk $x^5-a=0$, misalnya, memiliki solusi $x=\sqrt[5]{a}$.-) Pada tahun 1831 matematikawan Prancis ÉVARISTE GALOIS (1811-32) sepenuhnya mengklasifikasikan persamaan-persamaan tersebut yang dapat diselesaikan, mengembangkan karya yang melahirkan cabang matematika baru yang disebut TEORI GRUP. Pada abad ke-19, teori grup dan field dikembangkan, membantu menggambarkan sifat-sifat aljabar persamaan. MATEMATIKAWAN NORWEGIA NIELS HENRIK ABEL (1802–29) adalah salah satu pemimpin dalam pengembangan teori ini dan membuat banyak kontribusi penting. Teorema Abel-Ruffini, yang menyatakan bahwa tidak ada metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuintik dengan menggunakan kombinasi operasi aritmetika dan ekstraksi akar, diterbitkan secara terpisah oleh ABEL (1824) dan oleh PAOLO RUFFINI (1765–1822), seorang matematikawan Italia yang menghadapi reaksi yang buruk pada karyanya. Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, MATHEMATICIANS CHARLES HERMITE (1822–1901) dan FERDINAND VON LINDEMANN (1852–1939) secara independen membuktikan bahwa bilangan π (pi) tidak dapat dibangun dengan menggunakan kombinasi akar rasional dan operasi aritmetika. Penemuan ini memastikan bahwa memasukkan fungsi trigonometri, yang merupakan kombinasi dari fungsi eksponensial dan akar kuadrat, ke dalam aljabar membawa kita ke daerah baru. Aljabar modern terus berkembang dan digunakan dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan. Dengan penggunaan simbol dan manipulasi aljabar yang kuat, kita dapat menyelesaikan dan menganalisis persamaan dalam bentuk yang kompleks. Aljabar juga merupakan dasar bagi banyak konsep matematika yang lebih tinggi, seperti matriks, ruang vektor, teori bilangan, dan teori grup. Sumber: Encyclopedia of Mathematics, Copyright © 2005 by James Tanton, Ph.D.