Berikut Soal dan Pembahasan – OSN Matematika SMP Jenjang Kabupaten/Kota Tahun 2019 yang dapat dijadikan ajang latihan dan pemantapan persiapan dalam mengikuti OSN 2023
Soal Nomor 1
Diketahui $A=\{0,1,2,3,4\}$. Jika $a,b,c$ adalah tiga anggota berbeda dari $A$
dan $(a^b)^c=n$, maka nilai maksimum dari $n$ adalah …
A. $4.096$ C. $9.561$
B. $6.561$ D. $9.651$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Agar $(a^b)^c$ maksimum, maka kita hanya memilih $2, 3, 4$ sebagai
nilai-nilai pengganti $a, b, c$.
Tabulasikan hasil dari $(a^b)^c$
ketika $a = 2, a = 3$, dan $a=4$ dalam bentuk tabel berikut. Perhatikan
bahwa penukaran nilai $b$ dan $c$ menghasilkan bilangan yang sama karena
perkalian bersifat komutatif, yaitu $bc = cb$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline a & b & c & (a^b)^c \\ \hline 2 & 3 & 4 &
2^{12} = 4.096 \\ 3 & 2 & 4 & 3^8 = 6.561 \\ 4 & 2 & 3
& 4^6 = 4.096 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $n
= (a^b)^c$ adalah $\boxed{6.561}$ (Jawaban B)
Soal Nomor 2
Dua akuarium A dan B diisi air sehingga volumenya sama, yaitu
$64.000~\text{cm}^3$. Anto memiliki $30$ kelereng kecil dan $20$ kelereng
besar yang akan dimasukkan ke dalam akuarium tersebut. Ke dalam akuarium A
dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volume akuarium
yang terisi menjadi $64.821\dfrac13~\text{cm}^3$, sedangkan ke dalam akuarium
B dimasukkan $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volume
akuarium yang terisi menjadi $64.880~\text{cm}^3$. Volume seluruh kelereng
Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah $\cdots~\text{cm}^3$.
A. $113\frac{3}{21}$ C. $251\frac{9}{21}$
B. $226\frac{6}{21}$ D. $687\frac{5}{21}$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Misalkan $r, R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari kelereng kecil
dan kelereng besar.
Ketika $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar
dimasukkan ke akuarium A, volume akuarium berubah menjadi $64.281 \dfrac13
~\text{cm}^3.$
Ketika $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar
dimasukkan ke akuarium B, volume akuarium berubah menjadi
$64.880~\text{cm}^3.$
Karena volume mula-mula kedua akuarium sama dan
jumlah kelereng besar yang dimasukkan sama, maka ini berarti volume $14$
kelereng kecilnya adalah selisih kedua volume akuarium tersebut ketika
dimasukkan kelereng.
$\begin{aligned} 14 \cdot \dfrac43 \cdot
\dfrac{22}{7} \cdot r^3 & = 64.880 – 64.281 \dfrac13 \\
\cancelto{2}{14} \cdot \dfrac{4}{\bcancel{3}} \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}}
\cdot r^3 & = 58 \dfrac13 = \dfrac{176}{\bcancel{3}} \\ 176 \times r^3
& = 176 \\ r^3 & = 1 \\ r & = 1~\text{cm}\end{aligned}$
Selanjutnya
akan dicari nilai $R$. Saat akuarium A dimasukkan $7$ kelereng kecil dan
$7$ kelereng besar, volumenya berubah menjadi $64.281
\dfrac13~\text{cm}^3,$ sehingga
$$\begin{aligned} \cancel{7} \cdot
\dfrac43 \cdot \dfrac{22}{\cancel{7}}R^3 + \cancel{7} \cdot \dfrac43 \cdot
\dfrac{22}{\cancel{7}} r^3 & = 64.281 \dfrac13 – 64.000 =
\dfrac{2.464}{3} \\ 88R^3 + 88(1)^3 & = 2.464 \\ 88R^3 & = 2.376
\\ R^3 & = 27 \\ R & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$
Kelereng
besar yang tidak dimasukkan sebanyak $20-7-7 = 6$ butir, sedangkan
kelereng kecil yang tidak dimasukkan sebanyak $30-21-7 = 2$ butir.
Dengan
demikian, volume total kelereng tersebut adalah
$$\begin{aligned} 6
\cdot \dfrac43 \cdot \dfrac{22}{7}(3)^3 + 2 \cdot \dfrac43 \cdot
\dfrac{22}{7}(1)^3 & = \dfrac{14.256}{21} + \dfrac{176}{21} \\ & =
\dfrac{14.432}{21} \\ & = 687\dfrac{5}{21}~\text{cm}^3
\end{aligned}$$
Jadi, volume seluruh kelereng Anto yang tidak
dimasukkan ke akuarium adalah $\boxed{687\dfrac{5}{21}~\text{cm}^3}$
(Jawaban
D)
Soal Nomor 3
Hasil Ikan Tangkapan (HIT) seorang nelayan selama bulan Januari 2019 menurun
$25\%$ dibanding bulan sebelumnya dan HIT selama bulan Februari 2019 menurun
$20\%$ dibanding bulan sebelumnya. Jika diketahui HIT selama bulan Maret 2019
turun $10\%$ dibanding bulan sebelumnya sehingga menjadi $108$ kg, maka
pernyataan berikut yang benar adalah …
A. HIT bulan Desember 2018 sebanyak $200$
kg
B. HIT
bulan Januari 2019 sebanyak $120$ kg
C. HIT bulan Februari 2019 sebanyak $130$
kg
D. HIT
bulan Maret 2019 sebanyak $150$ kg
$\boxed{~Pembahasan~}$
Misalkan HIT pada bulan Desember 2018 adalah $x$ sehingga:
HIT pada bulan
Januari 2019 adalah $(1-25\%)\times x = 75%x = \dfrac34 x$,
HIT pada
bulan Februari 2019 adalah $(1-20\%)\times \dfrac34 x = \dfrac45 \times
\dfrac34 x = \dfrac35 x$
HIT pada bulan Maret 2019 adalah $(1-10\%)\times
\dfrac35 x = \dfrac{9}{10} \times \dfrac35 x = \dfrac{27}{50}x.$
Diketahui
bahwa HIT pada bulan Maret 2019 sebanyak $108$ kg sehingga
$\dfrac{27}{50}x
= 108 \Leftrightarrow x = \cancelto{4}{108} \times \dfrac{50}{\cancel{27}}=
200$
Ini berarti, HIT pada bulan Desember 2018 sebanyak $200$ kg.
Akibatnya, HIT pada bulan Januari 2019 sebanyak $\dfrac34 \times 200 = 150$ kg
dan HIT pada bulan Februari 2019 sebanyak $\dfrac35 \times 150 = 90$ kg.
Dari
alternatif jawaban yang diberikan, pilihan yang sesuai adalah pilihan A.
Soal Nomor 4
Jika $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka nilai $\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}$
adalah
$\cdots$
A. $\dfrac15$ B. $\dfrac13$ C. $3$ D. $5$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Dengan cara memfaktorkan, kita dapat membuat bentuk
$\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}$ menjadi lebih sederhana. Setelah itu,
substitusikan $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$.
$\begin{aligned}
\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2} & = \dfrac{(2x – y)\cancel{ (x – y)} }
{(x+y) \cancel{(x-y)} } \\ & = \dfrac{2x-y} {x+y} \\ & =
\dfrac{2(2p-4q) – (-p+2q)} {(2p-4q)+(-p+2q)} \\ & = \dfrac{5p – 10q}
{p-2q} \\ & = \dfrac{5\cancel{(p-2q)}} {\cancel{(p-2q)}} \\ & = 5
\end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2} =
5}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 5
Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x,y$ bilangan bulat positif. Nilai minimum dari
$x+y$ adalah …
A. $4$ B. $5$ C. $8$ D. $10$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan bahwa $xy + 2x + y = 10$ dapat ditulis menjadi $(x+1)(y+2)-2 = 10$
sehingga $(x+1)(y+2) = 12$.
Ini berarti, $(x+1)$ dan $(y+2)$ merupakan
faktor dari $12$.
Buat tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline x + 1 & y + 2 & x & y & x + y \\ \hline \color{red} {1}
& \color{red}{12} & \color{red}{0} & \color{red}{10} & – \\
\color{red}{12} & \color{red}{1} & \color{red}{11} &
\color{red}{-1} & – \\ 3 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ 4 & 3
& 3 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 4 & 5 \\ \color{red}{6}
& \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{red}{0} & – \\
\hline \end{array}$
Catatan: baris dengan warna tulisan merah menandakan
bahwa nilai $x, y$ yang didapat bukan bilangan bulat positif.
Berdasarkan
tabel di atas, tampak bahwa nilai minimum (terkecil) $x+y$ adalah
$\boxed{4}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Akar-akar dari $x^2-5bx+b=0$ adalah kuadrat kebalikan dari akar-akar persamaan
$x^2-ax+a-1=0$. Nilai terbesar yang mungkin dari hasil perkalian $a$ dan $b$
adalah …
A. $\dfrac14$ B. $\dfrac34$ C. $\dfrac43$ D. $\dfrac83$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan persamaan $x^2-ax+a-1=0$.
Misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan
$n$ sehingga jumlah dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{aligned} m + n
& = -a \\ mn & = a – 1 \end{aligned}$
Ini berarti,
$\begin{aligned}
m^2 + n^2 & = (m+n)^2 – 2mn \\ & = (-a)^2 – 2(a-1) \\ & = a^2-2a+2
\end{aligned}$
Akar-akar dari persamaan $x^2-5bx+b=0$ merupakan kuadrat
kebalikan dari akar-akar persamaan $x^2-ax+a-1=0$. Ini berarti, jumlah akarnya
adalah
$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = 5b.$
sedangkan hasil kali
akarnya adalah
$\dfrac{1}{m^2} \cdot \dfrac{1}{n^2} = b.$
Pada
persamaan $\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = 5b$ dapat kita tuliskan
$\begin{aligned}
\dfrac{m^2+n^2}{m^2n^2} & = 5b \\ \dfrac{a^2-2a+2}{(a-1)^2} & = 5b \\
a^2-2a+2 & = -5b(a-1)^2 \end{aligned}$
Pada persamaan $\dfrac{1}{m^2}
\cdot \dfrac{1}{n^2} = b$, kita peroleh
$\begin{aligned}
\dfrac{1}{(mn)^2} & = b \\ \dfrac{1}{(a-1)^2}& = b \\ b(a-1)^2 & =
1 \end{aligned}$
Substitusikan $b(a-1)^2=1$ ke persamaan $a^2-2a+2 =
5b(a-1)^2$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} a^2-2a+2 & = 5(1) \\
a^2 – 2a – 3 & = 0 \\ (a-3)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh
$a=3$ atau $a=-1.$
Untuk $a = 3$, kita peroleh
$b =
\dfrac{1}{(a-1)^2} = \dfrac{1}{(3-1)^2} = \dfrac14.$
Untuk $a = -1$, kita
peroleh
$b = \dfrac{1}{(a-1)^2} = \dfrac{1}{(-1-1)^2} = \dfrac14.$
Nilai
maksimum $ab$ didapat saat $a = 3$ dan $b = \dfrac14$, yaitu
$ab_{\text{max}}
= 3 \cdot \dfrac14 = \dfrac34.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Didefinisikan $\lfloor a \rfloor$ = bilangan bulat terbesar yang
lebih
kecil atau sama dengan $a$. Sebagai contoh, $\lfloor 2 \rfloor = 2; \left
\lfloor \dfrac34 \right \rfloor =0; \left \lfloor \dfrac54 \right \rfloor =1$.
Jika $x=7$, maka nilai $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ adalah
…
A. $8$ B. $7$ C. $-7$ D. $-8$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Untuk $x = 7$, kita peroleh$\left \lfloor \dfrac{3(7) +1}{4-7} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{22}{-3} \right \rfloor = -8$
Jadi, nilai dari $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ untuk $x=7$ adalah $\boxed{-8}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Disediakan empat bilangan, yaitu $2, 3, 4$, dan $-2$ yang akan ditempatkan
pada empat persegi paling bawah pada gambar sehingga tidak ada bilangan yang
tersisa. Untuk enam persegi lain dibuat aturan sebagai berikut. Nilai persegi
yang bertuliskan huruf K adalah hasil perkalian dari nilai dua persegi yang
berada tepat di bawahnya dan nilai persegi yang bertuliskan huruf J adalah
hasil penjumlahan dari nilai dua persegi yang berada tepat di bawahnya. Nilai
paling besar yang mungkin diperoleh pada persegi paling atas adalah …
A. $400$ B. $74$ C. $61$ D. $57$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Misalkan keempat persegi diisi oleh $a, b, c, d$ sehingga dapat dibuat sketsa
gambar berikut.
Dengan demikian, persegi paling atas bernilai
$$ab +
(b+c) + (b+c)cd = ab + (b + c) (1 + cd)$$
Karena $a$ hanya muncul sekali
pada suku pertama yang hanya melibatkan perkalian dengan $b$, maka $a$
kemungkinan bernilai negatif, yaitu $a = -2$. Agar didapat nilai maksimum, $b$
harus sekecil mungkin, yaitu $b = 2$. Selanjutnya, pilih $c$ sebesar mungkin,
yaitu $c = 4$ dan sisanya $d = 3$.
Nilai maksimum yang kita peroleh
adalah
$$\boxed{(-2)(2) + (2 + 4)(1 + 4(3)) = -4 + 6(13) = 74}$$
(Jawaban
B)
Soal Nomor 9
Jika $f[n]$ menyatakan banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang
lebih dari $\sqrt{n}$, maka selisih nilai dari $f[(3^4 \cdot 4^3)^2]$ dan
$f[(3^3 \cdot 4^2)^2]$ adalah …
A.
$0$ B.
$24$ C.
$27$ D. $54$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Misalkan $p =(3^4 \cdot 4^3)^2 = (3^4 \cdot 2^6)^2$ sehingga $\sqrt{p} = 3^4
\cdot 2^6$.
Dalam bentuk faktorisasi prima, $p$ dapat ditulis menjadi
$3^8 \cdot 2^{12}$ sehingga banyak faktor positif darinya adalah $(8 +
1)(12+1) = 117$ (bilangan $8$ dan $12$ didapat dari pangkatnya, masing-masing
ditambah $1$, lalu dikalikan).
Banyak faktor positif dari $p$ yang lebih
dari $\sqrt{p}$ adalah $\left\lceil \dfrac{117}{2} \right \rceil = 59$.
Jadi,
nilai dari $\boxed{f[(3^4 \cdot 4^3)^2] = 59}$.
Misalkan $q =(3^3 \cdot
4^2)^2 = (3^3 \cdot 2^4)^2$ sehingga $\sqrt{q} = 3^3 \cdot 2^4$.
Dalam
bentuk faktorisasi prima, $q$ dapat ditulis menjadi $3^6 \cdot 2^{8}$ sehingga
banyak faktor positif darinya adalah $(6 + 1)(8+1) = 63$.
Banyak faktor
positif dari $q$ yang lebih dari $\sqrt{q}$ adalah $\left \lceil \dfrac{63}{2}
\right \rceil = 32$.
Jadi, nilai dari $\boxed{f[(3^3 \cdot 4^2)^2] =
32}$.
Selisih nilai keduanya adalah $\boxed{59-32=27}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 10
Bilangan tadutima adalah bilangan bulat positif yang bukan kelipatan $2, 3$,
atau $5$. Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1.001$ yang merupakan
bilangan tadutima adalah …
A.
$333$ C.
$233$
B. $266$ D. $167$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Banyak bilangan seluruhnya ada $1.000$.
Bilangan kelipatan $2$ meliputi
$2, 4, 6, 8, \cdots, 1.000$ ada sebanyak $500$.
Bilangan kelipatan $3$
meliputi $3, 6, 9, 12, \cdots, 999$ ada sebanyak $333$.
Bilangan
kelipatan $5$ meliputi $5,10,15,20,\cdots, 1000$ ada sebanyak $200$.
Bilangan
kelipatan $6 = 2 \times 3$ meliputi $6, 12, 18, \cdots, 996$ ada sebanyak
$166$.
Bilangan kelipatan $10 = 2 \times 5$ meliputi $10, 20, 30, \cdots,
1000$ ada sebanyak $100$.
Bilangan kelipatan $15 = 3 \times 5$ meliputi
$15, 30, 45, \cdots, 990$ ada sebanyak $66$.
Bilangan kelipatan $30 = 2
\times 3 \times 5$ meliputi $30, 60, 90, \cdots, 990$ ada sebanyak $33$.
Dengan
menerapkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyak bilangan tadutima adalah
$$\begin{aligned}
& 1000 – (500 + 333 + 200) + (166 + 100 + 66) – 33 \\ & = 1000 – 1033
+ 332 – 33 = 266 \end{aligned}$$
Jadi, ada $\boxed{266}$ bilangan
tadutima yang kurang dari $1001$
(Jawaban B)
Soal Nomor 11
Di antara bilangan berikut, bilangan yang bernilai ganjil untuk setiap
bilangan bulat $n$ adalah …
A.
$2019-3n$ C.
$2019+2n$
B. $2019+n$ D. $2019+n^2$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Konsep operasi bilangan ganjil dan genap dijabarkan dalam tabel berikut.
$\begin{array}
{|c|c|c|c|} \hline a & b & a \pm b & a \times b \\ \hline
\text{genap} & \text{genap} & \text{genap} & \text{genap}
\\\text{genap} & \text{ganjil} & \text{ganjil} & \text{genap} \\
\text{ganjil} & \text{genap} & \text{ganiil} & \text{genap} \\
\text{ganjil} & \text{ganjil} & \text{genap} & \text{ganjil} \\
\hline \end{array}$
Pilihan A: $2019 – 3n$
Untuk $n$ ganjil,
diperoleh $3n$ ganjil sehingga $2019 – 3n$ genap.
Untuk $n$ genap,
diperoleh $3n$ genap sehingga $2019 – 3n$ ganjil.
Pilihan B: $2019 +
n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $2019 + n$ genap.
Untuk $n$ genap,
diperoleh $2019 + n$ ganjil.
Pilihan C: $2019 + 2n$
Untuk $n$
ganjil, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019 + 2n$ ganjil.
Untuk $n$
genap, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019 + 2n$ ganjil.
Pilihan D: $2019
+ n^2$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $n^2$ ganjil sehingga $2019 + n^2$
genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $n^2$ genap sehingga $2019 + n^2$
ganjil.
Jadi, alternatif pilihan jawaban yang benar adalah pilihan C.
Soal Nomor 12
Diketahui $A$ adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil
penjumlahan setiap dua bilangan anggota $A$ adalah $1.209, 1.690$, dan
$2.019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah …
A. $329$ C.
$769$
B. $481$ D. $810$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Misalkan $A = \{a, b, c\}$. Dengan demikian, diperoleh suatu sistem
persamaan
$\begin{cases} a+b=1.209 \\ a + c = 1.690 \\ b + c = 2.019
\end{cases}$
Jumlahkan ketiga persamaan di atas untuk memperoleh
$$\begin{aligned}
(a + b) + (a + c) + (b + c) & = 1.209 + 1.690 + 2.019 \\ 2a + 2b + 2c
& = 4.918 \\ a + b + c & = 2.459 \end{aligned}$$
Karena
$a+b=1.209$, maka diperoleh $c = 2.459 – 1.209 = 1.250$
Karena
$a+c=1.690$, maka diperoleh $b = 2.459 – 1.690 = 769$
Karena $b+c=2.019$,
maka diperoleh $a = 2.459 – 2.019 = 440$
Selisih bilangan terbesar dan
terkecil dari anggota $A$ adalah
$c – a = 1.250 – 440 = 810$
(Jawaban
D)
Soal Nomor 13
Perhatikan gambar di bawah.
Jika $\angle ABE+ \angle ACE+ \angle ADE=96^{\circ}$, maka besar $\angle AOE$ adalah …
A. $32^{\circ}$ B. $48^{\circ}$ C. $64^{\circ}$ D. $84^{\circ}$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan bahwa sudut $ABE, ACE$, dan $ADE$ semuanya merupakan sudut keliling
lingkaran yang menghadap busur yang sama, yaitu busur $AE$. Ini berarti, dapat
kita tuliskan
$\angle ABE = \angle ACE = \angle ADE = x$
sehingga
$\begin{aligned}
x + x + x & = 96^{\circ} \\ 3x & = 96^{\circ} \\ x & = 32^{\circ}
\end{aligned}$
$AOE$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AE$
sehingga
$\angle AOE = 2x = 2(32) = 64^{\circ}$
Jadi, besar sudut
$AOE$ adalah $\boxed{64^{\circ}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 14
Perhatikan gambar berikut.
Gambar tersebut adalah gambar kap lampu yang tidak mempunyai alas dan
tutup. Alas dan tutup kap lampu berbentuk lingkaran. Luas bahan yang
diperlukan untuk membuat kap lampu tersebut adalah $\cdots~\text{cm}^2~(\pi
=3,14)$
A. $1130,4$ C.
$565,2$
B. $1120$ D. $560,2$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan gambar kerucut utuh berikut.
Dengan menggunakan konsep kesebangunan segitiga siku-siku,
diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{h} {h+8} & = \dfrac{6}{12} =
\dfrac{1}{2} \\ 2h & = h + 8 \\ h & = 8~\text{cm} \end{aligned}$
Misalkan
$s = s_1 + s_2$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned}
s & = \sqrt{12^2 + (8+8)^2} \\ & = \sqrt{144 + 256} \\ & =
\sqrt{400} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menerapkan konsep
kesebangunan, diperoleh
$\dfrac{12}{6} = \dfrac{s} {s_1} \Rightarrow 2 =
\dfrac{20}{s_1} \Leftrightarrow s_1 = 10~\text{cm}$
Luas bahan adalah
selisih luas selimut kerucut besar dengan luas selimut kerucut kecil, yakni
$$\begin{aligned}
L & = L_B – L_K \\ & = \pi Rs – \pi r s_1 = 3,14 \cdot 12 \cdot 20 –
3,14 \cdot 6 \cdot 10 \\ & = 3,14(6)(10)(2(2) – 1) \\ & =
3,14(6)(10)(3) = 565,2~\text{cm}^2 \end{aligned}$$
Jadi, luas bahan untuk
membuat kap lampu tersebut adalah $\boxed{565,2~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 15
Parabola $y=ax^2+bx+c$ mempunyai puncak di $(p,p)$ dan titik potong dengan
sumbu-$Y$ di $(0,-p)$. Jika $p \neq 0$, maka nilai $b$ adalah …
A. $1$ B.
$2$ C. $4$ D. $8$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Diketahui: $y = ax^2 + bx + c$.
Karena absis titik puncak di $x = p$,
maka kita peroleh
$-\dfrac{b} {2a} = p \Leftrightarrow -b = 2ap
\Leftrightarrow b + 2ap = 0$
Titik potong parabola dengan sumbu-$Y$ di
$(0, -p)$ sehingga substitusi $x = 0$ dan $y=-p$ menghasilkan
$-p =
a(0)^2 + b(0) + c \Leftrightarrow c = -p$
Substitusikan $x = y = p$ pada
persamaan $y = ax^2 + bx – p$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} p &
= ap^2 + bp – p \\ ap^2 + bp – 2p & = 0 \\ p(ap + b – 2) & = 0 \\ ap +
b – 2 & = 0 \\ ap & = 2 – b \end{aligned}$
Substitusikan $ap = 2
– b$ ke $b + 2ap = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} b + 2(2-b) &
= 0 \\ b + 4 – 2b & = 0 \\ -b & = -4 \\ b & = 4 \end{aligned}$
Jadi,
nilai $b$ adalah $\boxed{4}$ (Jawaban C)
Soal Nomor 16
$ABCD$ adalah jajar genjang. $E$ adalah titik tengah $AB$. Ruas garis $DE$
memotong $AC$ di titik $P$. Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas
segitiga $AEP$ adalah …
A. $12 :
1$ C. $6 :
1$
B. $8 : 1$ D. $4 :
1$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Perhatikan bahwa segitiga $AEP$ sebangun dengan segitiga $CDP$.
Misakkan $QR$ merupakan tinggi jajar genjang $ABCD$, sekaligus garis tinggi
kedua segitiga.
Dengan demikian, berlaku
$$\dfrac{AE} {QP} =
\dfrac{CD} {RP} \Leftrightarrow \dfrac{\frac12 CD} {QP} = \dfrac{CD} {RP}
\Rightarrow QP = \dfrac12 RP.$$
Oleh karena itu, $QP = \dfrac13 QR.$
Perbandingan
luas jajar genjang $ABCD$ dan segitiga $AEP$ adalah
$$\begin{aligned}
L_{ABCD} : L_{AEP} & = AB \times QR : \dfrac{AE \times QP} {2} \\ & =
2 \times \cancel{AB} \times \cancel{QR} : \dfrac12 \cancel{AB} \times \dfrac13
\cancel{QR} \\ & = 2 : \dfrac16 = 12 : 1 \end{aligned}$$
(Jawaban A)
Soal Nomor 17
Dalam segitiga sama sisi $ABC$, titik $D, E$, dan $F$ masing-masing pada sisi
$BC, CA$, dan $AB$ sehingga $\angle AFE=\angle BFD$;$\angle BDF=\angle CDE$,
dan $\angle CED= \angle AEF$. Jika panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $8$ cm,
maka luas segitiga $DEF$ adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $2\sqrt{3}$ C. $6\sqrt{3}$
B. $4\sqrt{3}$ D. $8\sqrt{3}$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.
Tinjau segitiga $ECD$. Jumlah sudut dalam segitiga adalah
$180^{\circ}$. Dengan demikian, kita tulis
$\begin{aligned} 60 + (120 –
x) + (120 – x) & = 180 \\ 300 – 2x & = 180 \\ -2x & = -120 \\ x
& = 60 \end{aligned}$
Ini berarti, semua bangun yang terbentuk
merupakan segitiga sama sisi yang saling kongruen dengan sketsa seperti
berikut.
Diketahui panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $s = 8~\text{cm}$. Luas
segitiga $ABC$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABC} & = \dfrac14 \cdot
s^2\sqrt{3} \\ & = \dfrac14 \cdot (8)^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}~\text{cm}^2
\end{aligned}$
Luas segitiga $DEF$ adalah $\dfrac14$ dari luas segitiga
$ABC$ sehingga
$L_{DEF} = \dfrac14 \times 16\sqrt{3} =
4\sqrt{3}~\text{cm}^2$
(Jawaban B)
Soal Nomor 18
Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang $AB = 11$ cm, $BC = 15$ cm, dan $EF = 20$ cm, maka luas
bangun $ABCDEF$ adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
A. $302$ C.
$402$
B. $336$ D. $426$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Diketahui: $AB = 11, BC = 15, EF = 20$
Misalkan $O$ adalah titik
perpotongan kedua diagonal pada bangun belah ketupat $BCDE$ sehingga didapat
$BO = EF – AB = 20 – 11 = 9$.
Perhatikan segitiga siku-siku $BOC$.
Panjang $OC$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned}
OC & = \sqrt{BC^2 – BO^2} = \sqrt{15^2 – 9^2} \\ & = \sqrt{225 – 81} =
\sqrt{144} = 12 \end{aligned}$
Karena $BO = 9$, maka $BD = 2(9) = 18$.
Juga karena $OC = 12$, maka $EC = 2(12) = 24$. Tinggi trapesium $AF$ sama
dengan panjang $EO$, yaitu $AF = 12$. Dengan demikian, luas bangun $ABCDEF$
dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = L_{ABEF} + L_{BCDE} \\ & =
\dfrac{(AB + EF) \times AF} {2} + \dfrac{BD \times EC} {2} \\ & =
\dfrac{(11 + 20) \times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} +
\dfrac{\cancelto{9}{18} \times 24}{\cancel{2}} \\ & = 31 \times 6 + 9
\times 24 \\ & = 186 + 216 = 402 \end{aligned}$
Jadi, luas bangun
$ABCDEF$ adalah $\boxed{402~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 19
Terdapat empat kotak yang dinomori $1$ sampai $4$. Setiap kotak dapat diisi
maksimum $5$ koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh
berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor lebih kecil. Jika tidak
boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang mungkin ke dalam
keempat kotak tersebut adalah …
A.
$25$ C.
$252$
B. $70$ D. $625$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Buatlah tabel berikut. Keterangan: $K1$ menyatakan Kotak 1, dst.
$$\begin{array}
{|c|c|c|c|} \hline \text{K1} & \text{K2} & \text{Banyak Cara K3 dan
K4} & \text{Hasil} \\ \hline 5 & 5 & 1+2+3+4+5 & 15 \\ 5 &
4 & 1+2+3+4 & 10 \\ 5 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 5 & 2 &
1+2 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 1+2+3+4 & 10
\\ 4 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 4 & 2 & 1+2 & 3 \\ 4 & 1
& 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1+2+3 & 6 \\ 3 & 2 & 1+2 &
3 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1+2 & 3 \\ 2 & 1
& 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & \sum
= 70 \\ \hline \end{array}$$
Keterangan pada baris kedua tabel:
Cara
pengisian koin pada kotak ke-$3$ dan $4$ apabila kotak $1$ dan kotak $2$
masing-masing diisi 5 koin adalah
$\begin{aligned} \{(1, 1), & (2,
1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), \\ & (4, 1), \cdots, (4, 4), (5, 1),
\cdots, (5, 5)\} \end{aligned} $
sehingga banyak cara untuk kasus ini
adalah
$1+2+3+4+5 = 15$.
Dengan demikian, banyak cara pengisian koin
sesuai dengan syarat yang diminta adalah $\boxed{70}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 20
Untuk setiap buku baru yang datang, seorang pustakawan bertugas untuk menempel
label nomor di bagian samping buku dan menyampul buku tersebut dengan plastik
transparan. Proses menempel label dan menyampul ini disebut pengerjaan. Agar
label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan suatu buku harus dilakukan
setelah menempel label nomornya. Jika ada tiga buku baru berbeda yang harus
dikerjakan, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang dapat dilakukan oleh
pustakawan tersebut adalah …
A.
$8$ B.
$48$ C.
$90$ D.
$720$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Banyaknya cara melakukan penempelan label dan penyampulan 3 buku adalah $6! =
6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Banyak susunan ketika
pelabelan buku pertama dilakukan sebelum penyampulannya adalah setengah dari
$720$. Begitu juga untuk buku kedua dan ketiga. Dengan demikian, banyak
kemungkinan urutan pengerjaannya adalah $720 \times \dfrac12 \times \dfrac12
\times \dfrac12 = 90$.
(Jawaban C)
Soal Nomor 21
Password akun media sosial Ahmad terdiri dari enam karakter
berbeda penyusun kata “NKRIgo”. Ahmad memintamu untuk
menebak password-nya dengan memberikan dua informasi tambahan,
yaitu “g” tidak bersebelahan dengan “o”, dan “R” bersebelahan dengan “I”. Jika
kamu menggunakan seluruh informasi tersebut dengan baik, peluangmu untuk dapat
langsung menebak dengan benar adalah …
A.
$\dfrac{1}{36}$ C.
$\dfrac{1}{144}$
B.
$\dfrac{1}{72}$ D.
$\dfrac{1}{720}$
$\boxed{~Pembahasan~}$
“NKRIgo” terdiri dari $6$ huruf yang semuanya berbeda dan $6!$ cara untuk
menyusun kata sandi yang mungkin bila tidak diberikan syarat apapun.
Apabila
R dan I harus bersebelahan, maka RI dianggap sebagai satu huruf sehingga
sekarang tersisa $5$ huruf. Tetapi karena RI sendiri dapat disusun kembali
sebanyak $2! = 2$ cara (RI, IR), maka banyak cara seluruhnya ada $2 \times 5!
= 240$.
Apabila R dan I harus bersebelahan serta g dan o juga harus
bersebelahan, maka RI dan go masing-masing dianggap sebagai satu huruf
sehingga hanya ada $4$ huruf. Tetapi karena RI dan go masing-masing dapat
disusun sebanyak $2! = 2$ cara, yaitu RI, IR, go, og, maka secara keseluruhan
ada $2 \times 2 \times 4! = 96$ cara.
Dengan demikian, banyak cara
menyusun kata sandi apabila R dan I harus bersebelahan tetapi g dan o tidak
boleh bersebelahan adalah $240 – 96 = 144$. Untuk itu, peluang kita menebak
dengan benar sebesar $\boxed{\dfrac{1}{144}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 22
Misalkan terdapat $n$ nilai ulangan yang rata-ratanya $75$. Jika ada tambahan
sebanyak $m$ nilai yang masing-masingnya $100$, maka rata-ratanya sekarang
menjadi lebih dari $80$. Nilai $\dfrac{m}{n}$ yang mungkin adalah …
A. $\dfrac{4}{11}$ B. $\dfrac{4}{17}$ C. $\dfrac{2}{9}$ D. $\dfrac{5}{24}$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Jumlah nilai untuk kondisi mula-mula adalah $75n$, sedangkan jumlah nilai
untuk kondisi setelah ada tambahan adalah $75n + 100m$. Karena rata-ratanya
menjadi lebih dari $80$, maka kita tulis dan peroleh
$\begin{aligned}
\dfrac{75n+100m} {m+n} & > 80 \\ 75n + 100m & > 80m + 80n \\
100m – 80m & > 80n – 75n \\ 20m & > 5n \\ \dfrac{m} {n} &
> \dfrac{5}{20} = \dfrac14 \end{aligned}$
Nilai $\dfrac{m} {n}$ harus
lebih besar dari $\dfrac14$. Berdasarkan alternatif pilihan jawaban yang
diberikan, $\dfrac{4}{11} > \dfrac14$ sehingga nilai $\dfrac{m}{n}$ yang
mungkin adalah $\dfrac{4}{11}$ (Jawaban A)
Soal Nomor 23
Diketahui lima buah bilangan bulat positif yang sudah terurut, yaitu
$n+1,n+2,2m-4,2m-2$, dan $m+4$. Rata-rata lima bilangan tersebut sama dengan
jangkauannya dan sama pula dengan mediannya. Nilai $m+n$ adalah …
A. $5$ B.
$7$ C.
$10$ D. $12$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Jangkauan adalah selisih nilai tertinggi dan nilai terendah pada sekumpulan
data. Ini berarti,
$J = (m + 4) – (n + 1) = m – n + 3$
Rata-ratanya
sama dengan jangkauanya sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned}
\overline{x} & = \dfrac{(n+1)+(n+2)+(2m-4)+(2m-2)+(m+4)} {5} \\ m – n + 3
& = \dfrac{2n + 5m + 1}{5} \\ \cancel{5m} – 5n + 15 & = 2n +
\cancel{5m} + 1 \\ 7n & = 14 \\ n & = 2 \end{aligned}$$
Dengan
demikian, $J = m – n + 3 = m – 2 + 3 = m + 1$.
Karena diketahui bahwa
mediannya sama dengan jangkauannya, maka kita peroleh: $J = 2m – 4$.
Dari
sistem persamaan $\begin{cases} J = m + 1 \\ J = 2m – 4 \end{cases}$, kita
peroleh
$\begin{aligned} m+1 & = 2m-4 \\ m & = 5
\end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{m+n = 5+2=7}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 24
Diagram batang berikut menyatakan nilai ulangan dari kelompok siswa laki-laki
dan siswa perempuan.
Jika $M_1$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok siswa laki-laki,
$M_2$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok siswa perempuan, dan $M$
adalah median nilai ulangan keseluruhan siswa, maka $M_1+M_2+M$ adalah …
A. $150$ C. $220$
B. $200$ D. $240$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Sajikan data pada diagram batang di atas ke dalam bentuk tabel seperti berikut.$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & 60 & 70 & 80 & 90 & \text{Jumlah} \\ \hline F_1 & 5 & 12 & 1 & 6 & 24 \\ \hline F_2 & 10 & 3 & 8 & 6 & 27 \\ \hline F & 15 & 15 & 9 & 12 & 51 \\ \hline \end{array}$
Median adalah nilai tengah data terurut.
Dari tabel tersebut, diperoleh $M_1 = 70, M_2 = 80$, dan $M = 70$.
Dengan demikian,
$M_1 + M_2 + M = 70 + 80 + 70 = 240$
(Jawaban D)
Soal Nomor 25
Diketahui jumlah $20$ suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $1.390$.
Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah $3$, maka selisih dari dua suku
berurutan di barisan tersebut adalah …
A.
$7$ B.
$17$ C.
$21$ D. $24$
$\boxed{~Pembahasan~}$
Diketahui:
$\begin{aligned} \text{S}_{20} & = 1.390 \\ a & = 3 \\
n & = 20 \end{aligned}$
Ditanya: $b = \cdots?$
Dengan
menggunakan rumus jumlah deret aritmetika diperoleh
$\begin{aligned}
\text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ 1.390 & =
\dfrac{20}{2}(2(3) + (20-1)b) \\ 1.390 & = 10(6 + 19b) \\ 139 & = 6 +
19b \\ 133 & = 19b \\ b & = \dfrac{133}{19} = 7 \end{aligned}$
Jadi,
selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah $\boxed{7}$
(Jawaban A)
0 Komentar
Isikan Komentar Anda