Soal dan Pembahasan – OSN Matematika SMP Jenjang Kabupaten/Kota Tahun 2019

 Berikut Soal dan Pembahasan – OSN Matematika SMP Jenjang Kabupaten/Kota Tahun 2019 yang dapat dijadikan ajang latihan dan pemantapan persiapan dalam mengikuti OSN 2023

Soal Nomor 1

Diketahui $A=\{0,1,2,3,4\}$. Jika $a,b,c$ adalah tiga anggota berbeda dari $A$ dan $(a^b{)}^c=n$, maka nilai maksimum dari $n$ adalah …
        A. $4.096$                                  C. $9.561$
        B. $6.561$                                  D. $9.651$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Agar $(a^b{)}^c$ maksimum, maka kita hanya memilih $2,3,4$ sebagai nilai-nilai pengganti $a,b,c$.
Tabulasikan hasil dari $(a^b{)}^c$ ketika $a=2,a=3$, dan $a=4$ dalam bentuk tabel berikut. Perhatikan bahwa penukaran nilai $b$ dan $c$ menghasilkan bilangan yang sama karena perkalian bersifat komutatif, yaitu $bc=cb$.
$\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& c& (a^b{)}^c\\ 2& 3& 4& 2^{12}=4.096\\ 3& 2& 4& 3^8=6.561\\ 4& 2& 3& 4^6=4.096\\ \hline\end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $n=(a^b{)}^c$ adalah $\boxed{{\displaystyle 6.561}}$ (Jawaban B)

Soal Nomor 2

Dua akuarium A dan B diisi air sehingga volumenya sama, yaitu $64.000{\text{cm}}^3$. Anto memiliki $30$ kelereng kecil dan $20$ kelereng besar yang akan dimasukkan ke dalam akuarium tersebut. Ke dalam akuarium A dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volume akuarium yang terisi menjadi $64.821{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{cm}}^3$, sedangkan ke dalam akuarium B dimasukkan $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volume akuarium yang terisi menjadi $64.880{\text{cm}}^3$. Volume seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah $\cdots {\text{cm}}^3$.
        A. $113\frac{3}{21}$                                  C. $251\frac{9}{21}$
        B. $226\frac{6}{21}$                                  D. $687\frac{5}{21}$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Misalkan $r,R$ berturut-turut menyatakan panjang jari-jari kelereng kecil dan kelereng besar.
Ketika $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar dimasukkan ke akuarium A, volume akuarium berubah menjadi $64.281{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{cm}}^3.$
Ketika $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar dimasukkan ke akuarium B, volume akuarium berubah menjadi $64.880{\text{cm}}^3.$
Karena volume mula-mula kedua akuarium sama dan jumlah kelereng besar yang dimasukkan sama, maka ini berarti volume $14$ kelereng kecilnya adalah selisih kedua volume akuarium tersebut ketika dimasukkan kelereng.
$\begin{array}{rl}14\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}\cdot r^3& =64.880–64.281{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ {\cancel{14}}^2\cdot {\displaystyle \frac{4}{\bcancel{3}}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{\cancel{7}}}\cdot r^3& =58{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{176}{\bcancel{3}}}\\ 176\times r^3& =176\\ r^3& =1\\ r& =1\text{cm}\end{array}$
Selanjutnya akan dicari nilai $R$. Saat akuarium A dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar, volumenya berubah menjadi $64.281{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{cm}}^3,$ sehingga
$$\begin{array}{rl}\cancel{7}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{\cancel{7}}}{R}^3+\cancel{7}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{\cancel{7}}}{r}^3& =64.281{\displaystyle \frac{1}{3}}–64.000={\displaystyle \frac{2.464}{3}}\\ 88R^3+88(1{)}^3& =2.464\\ 88R^3& =2.376\\ R^3& =27\\ R& =3\text{cm}\end{array}$$
Kelereng besar yang tidak dimasukkan sebanyak $20-7-7=6$ butir, sedangkan kelereng kecil yang tidak dimasukkan sebanyak $30-21-7=2$ butir.
Dengan demikian, volume total kelereng tersebut adalah
$$\begin{array}{rl}6\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}(3{)}^3+2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}(1{)}^3& ={\displaystyle \frac{14.256}{21}}+{\displaystyle \frac{176}{21}}\\ & ={\displaystyle \frac{14.432}{21}}\\ & =687{\displaystyle \frac{5}{21}}{\text{cm}}^3\end{array}$$
Jadi, volume seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah $\boxed{{\displaystyle 687{\displaystyle \frac{5}{21}}{\text{cm}}^3}}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 3

Hasil Ikan Tangkapan (HIT) seorang nelayan selama bulan Januari 2019 menurun $25\mathrm{\%}$ dibanding bulan sebelumnya dan HIT selama bulan Februari 2019 menurun $20\mathrm{\%}$ dibanding bulan sebelumnya. Jika diketahui HIT selama bulan Maret 2019 turun $10\mathrm{\%}$ dibanding bulan sebelumnya sehingga menjadi $108$ kg, maka pernyataan berikut yang benar adalah …
        A. HIT bulan Desember 2018 sebanyak $200$ kg
        B. HIT bulan Januari 2019 sebanyak $120$ kg
        C. HIT bulan Februari 2019 sebanyak $130$ kg
        D. HIT bulan Maret 2019 sebanyak $150$ kg

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Misalkan HIT pada bulan Desember 2018 adalah $x$ sehingga:
HIT pada bulan Januari 2019 adalah $(1-25\mathrm{\%})\times x=75$,
HIT pada bulan Februari 2019 adalah $(1-20\mathrm{\%})\times {\displaystyle \frac{3}{4}}x={\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}x={\displaystyle \frac{3}{5}}x$
HIT pada bulan Maret 2019 adalah $(1-10\mathrm{\%})\times {\displaystyle \frac{3}{5}}x={\displaystyle \frac{9}{10}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}x={\displaystyle \frac{27}{50}}x.$
Diketahui bahwa HIT pada bulan Maret 2019 sebanyak $108$ kg sehingga
${\displaystyle \frac{27}{50}}x=108\iff x={\cancel{108}}^4\times {\displaystyle \frac{50}{\cancel{27}}}=200$
Ini berarti, HIT pada bulan Desember 2018 sebanyak $200$ kg. Akibatnya, HIT pada bulan Januari 2019 sebanyak ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 200=150$ kg dan HIT pada bulan Februari 2019 sebanyak ${\displaystyle \frac{3}{5}}\times 150=90$ kg.
Dari alternatif jawaban yang diberikan, pilihan yang sesuai adalah pilihan A.

Soal Nomor 4

Jika $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka nilai ${\displaystyle \frac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}}$
adalah $\cdots$
A. ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ B. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ C. $3$ D. $5$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Dengan cara memfaktorkan, kita dapat membuat bentuk ${\displaystyle \frac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}}$ menjadi lebih sederhana. Setelah itu, substitusikan $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}}& ={\displaystyle \frac{(2x–y)\cancel{(x–y)}}{(x+y)\cancel{(x-y)}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2x-y}{x+y}}\\ & ={\displaystyle \frac{2(2p-4q)–(-p+2q)}{(2p-4q)+(-p+2q)}}\\ & ={\displaystyle \frac{5p–10q}{p-2q}}\\ & ={\displaystyle \frac{5\cancel{(p-2q)}}{\cancel{(p-2q)}}}\\ & =5\end{array}$
Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2x^2-3xy+y^2}{x^2-y^2}}=5}}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 5

Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x,y$ bilangan bulat positif. Nilai minimum dari $x+y$ adalah …
    A. $4$                   B. $5$                   C. $8$                  D. $10$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan bahwa $xy+2x+y=10$ dapat ditulis menjadi $(x+1)(y+2)-2=10$ sehingga $(x+1)(y+2)=12$.
Ini berarti, $(x+1)$ dan $(y+2)$ merupakan faktor dari $12$.
Buat tabel berikut.
$\begin{array}{|ccccc|}\hline x+1& y+2& x& y& x+y\\ 1& 12& 0& 10& –\\ 12& 1& 11& -1& –\\ 3& 4& 2& 2& 4\\ 4& 3& 3& 1& 4\\ 2& 6& 1& 4& 5\\ 6& 2& 5& 0& –\\ \hline\end{array}$
Catatan: baris dengan warna tulisan merah menandakan bahwa nilai $x,y$ yang didapat bukan bilangan bulat positif.
Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa nilai minimum (terkecil) $x+y$ adalah $\boxed{{\displaystyle 4}}$
(Jawaban A)

Soal Nomor 6

Akar-akar dari $x^2-5bx+b=0$ adalah kuadrat kebalikan dari akar-akar persamaan $x^2-ax+a-1=0$. Nilai terbesar yang mungkin dari hasil perkalian $a$ dan $b$ adalah …
    A. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$                  B. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$                  C. ${\displaystyle \frac{4}{3}}$                  D. ${\displaystyle \frac{8}{3}}$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan persamaan $x^2-ax+a-1=0$.
Misalkan akar-akarnya adalah $m$ dan $n$ sehingga jumlah dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{array}{rl}m+n& =-a\\ mn& =a–1\end{array}$
Ini berarti,
$\begin{array}{rl}{m}^2+n^2& =(m+n{)}^2–2mn\\ & =(-a{)}^2–2(a-1)\\ & =a^2-2a+2\end{array}$
Akar-akar dari persamaan $x^2-5bx+b=0$ merupakan kuadrat kebalikan dari akar-akar persamaan $x^2-ax+a-1=0$. Ini berarti, jumlah akarnya adalah
${\displaystyle \frac{1}{m^2}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=5b.$
sedangkan hasil kali akarnya adalah
${\displaystyle \frac{1}{m^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^2}}=b.$
Pada persamaan ${\displaystyle \frac{1}{m^2}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=5b$ dapat kita tuliskan
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{m^2+n^2}{m^2{n}^2}}& =5b\\ {\displaystyle \frac{a^2-2a+2}{(a-1{)}^2}}& =5b\\ a^2-2a+2& =-5b(a-1{)}^2\end{array}$
Pada persamaan ${\displaystyle \frac{1}{m^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^2}}=b$, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{(mn{)}^2}}& =b\\ {\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2}}& =b\\ b(a-1{)}^2& =1\end{array}$
Substitusikan $b(a-1{)}^2=1$ ke persamaan $a^2-2a+2=5b(a-1{)}^2$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}{a}^2-2a+2& =5(1)\\ a^2–2a–3& =0\\ (a-3)(a+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $a=3$ atau $a=-1.$
Untuk $a=3$, kita peroleh
$b={\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(3-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}.$
Untuk $a=-1$, kita peroleh
$b={\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(-1-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}.$
Nilai maksimum $ab$ didapat saat $a=3$ dan $b={\displaystyle \frac{1}{4}}$, yaitu
$a{b}_{\text{max}}=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}.$
(Jawaban B)

Soal Nomor 7

Didefinisikan $\lfloor a\rfloor$ = bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil atau sama dengan $a$. Sebagai contoh, $\lfloor 2\rfloor =2;\lfloor {\displaystyle \frac{3}{4}}\rfloor =0;\lfloor {\displaystyle \frac{5}{4}}\rfloor =1$. Jika $x=7$, maka nilai $\lfloor {\displaystyle \frac{3x+1}{4-x}}\rfloor$ adalah …
     A. $8$                      B. $7$                  C. $-7$                  D. $-8$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Untuk $x=7$, kita peroleh
$\lfloor {\displaystyle \frac{3(7)+1}{4-7}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{22}{-3}}\rfloor =-8$
Jadi, nilai dari $\lfloor {\displaystyle \frac{3x+1}{4-x}}\rfloor$ untuk $x=7$ adalah $\boxed{{\displaystyle -8}}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 8

Disediakan empat bilangan, yaitu $2,3,4$, dan $-2$ yang akan ditempatkan pada empat persegi paling bawah pada gambar sehingga tidak ada bilangan yang tersisa. Untuk enam persegi lain dibuat aturan sebagai berikut. Nilai persegi yang bertuliskan huruf K adalah hasil perkalian dari nilai dua persegi yang berada tepat di bawahnya dan nilai persegi yang bertuliskan huruf J adalah hasil penjumlahan dari nilai dua persegi yang berada tepat di bawahnya. Nilai paling besar yang mungkin diperoleh pada persegi paling atas adalah …

    A. $400$                  B. $74$                  C. $61$                  D. $57$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Misalkan keempat persegi diisi oleh $a,b,c,d$ sehingga dapat dibuat sketsa gambar berikut.
Dengan demikian, persegi paling atas bernilai
$$ab+(b+c)+(b+c)cd=ab+(b+c)(1+cd)$$
Karena $a$ hanya muncul sekali pada suku pertama yang hanya melibatkan perkalian dengan $b$, maka $a$ kemungkinan bernilai negatif, yaitu $a=-2$. Agar didapat nilai maksimum, $b$ harus sekecil mungkin, yaitu $b=2$. Selanjutnya, pilih $c$ sebesar mungkin, yaitu $c=4$ dan sisanya $d=3$.
Nilai maksimum yang kita peroleh adalah
$$\boxed{{\displaystyle (-2)(2)+(2+4)(1+4(3))=-4+6(13)=74}}$$
(Jawaban B)

Soal Nomor 9

Jika $f[n]$ menyatakan banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$, maka selisih nilai dari $f[(3^4\cdot 4^3{)}^2]$ dan $f[(3^3\cdot 4^2{)}^2]$ adalah …
    A. $0$                  B. $24$                  C. $27$                  D. $54$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Misalkan $p=(3^4\cdot 4^3{)}^2=(3^4\cdot 2^6{)}^2$ sehingga $\sqrt{p}=3^4\cdot 2^6$.
Dalam bentuk faktorisasi prima, $p$ dapat ditulis menjadi $3^8\cdot 2^{12}$ sehingga banyak faktor positif darinya adalah $(8+1)(12+1)=117$ (bilangan $8$ dan $12$ didapat dari pangkatnya, masing-masing ditambah $1$, lalu dikalikan).
Banyak faktor positif dari $p$ yang lebih dari $\sqrt{p}$ adalah $\lceil {\displaystyle \frac{117}{2}}\rceil =59$.
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f[(3^4\cdot 4^3{)}^2]=59}}$.
Misalkan $q=(3^3\cdot 4^2{)}^2=(3^3\cdot 2^4{)}^2$ sehingga $\sqrt{q}=3^3\cdot 2^4$.
Dalam bentuk faktorisasi prima, $q$ dapat ditulis menjadi $3^6\cdot 2^8$ sehingga banyak faktor positif darinya adalah $(6+1)(8+1)=63$.
Banyak faktor positif dari $q$ yang lebih dari $\sqrt{q}$ adalah $\lceil {\displaystyle \frac{63}{2}}\rceil =32$.
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f[(3^3\cdot 4^2{)}^2]=32}}$.
Selisih nilai keduanya adalah $\boxed{{\displaystyle 59-32=27}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 10

Bilangan tadutima adalah bilangan bulat positif yang bukan kelipatan $2,3$, atau $5$. Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1.001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah …
    A. $333$                                  C. $233$
    B. $266$                                  D. $167$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Banyak bilangan seluruhnya ada $1.000$.
Bilangan kelipatan $2$ meliputi $2,4,6,8,\cdots ,1.000$ ada sebanyak $500$.
Bilangan kelipatan $3$ meliputi $3,6,9,12,\cdots ,999$ ada sebanyak $333$.
Bilangan kelipatan $5$ meliputi $5,10,15,20,\cdots ,1000$ ada sebanyak $200$.
Bilangan kelipatan $6=2\times 3$ meliputi $6,12,18,\cdots ,996$ ada sebanyak $166$.
Bilangan kelipatan $10=2\times 5$ meliputi $10,20,30,\cdots ,1000$ ada sebanyak $100$.
Bilangan kelipatan $15=3\times 5$ meliputi $15,30,45,\cdots ,990$ ada sebanyak $66$.
Bilangan kelipatan $30=2\times 3\times 5$ meliputi $30,60,90,\cdots ,990$ ada sebanyak $33$.
Dengan menerapkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyak bilangan tadutima adalah
$$\begin{array}{rl}& 1000–(500+333+200)+(166+100+66)–33\\ & =1000–1033+332–33=266\end{array}$$
Jadi, ada $\boxed{{\displaystyle 266}}$ bilangan tadutima yang kurang dari $1001$
(Jawaban B)

Soal Nomor 11

Di antara bilangan berikut, bilangan yang bernilai ganjil untuk setiap bilangan bulat $n$ adalah …
    A. $2019-3n$                                  C. $2019+2n$
    B. $2019+n$                                   D. $2019+n^2$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Konsep operasi bilangan ganjil dan genap dijabarkan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& a\pm b& a\times b\\ \text{genap}& \text{genap}& \text{genap}& \text{genap}\\ \text{genap}& \text{ganjil}& \text{ganjil}& \text{genap}\\ \text{ganjil}& \text{genap}& \text{ganiil}& \text{genap}\\ \text{ganjil}& \text{ganjil}& \text{genap}& \text{ganjil}\\ \hline\end{array}$
Pilihan A: $2019–3n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $3n$ ganjil sehingga $2019–3n$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $3n$ genap sehingga $2019–3n$ ganjil.
Pilihan B: $2019+n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $2019+n$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $2019+n$ ganjil.
Pilihan C: $2019+2n$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019+2n$ ganjil.
Untuk $n$ genap, diperoleh $2n$ genap sehingga $2019+2n$ ganjil.
Pilihan D: $2019+n^2$
Untuk $n$ ganjil, diperoleh $n^2$ ganjil sehingga $2019+n^2$ genap.
Untuk $n$ genap, diperoleh $n^2$ genap sehingga $2019+n^2$ ganjil.
Jadi, alternatif pilihan jawaban yang benar adalah pilihan C.

Soal Nomor 12

Diketahui $A$ adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua bilangan anggota $A$ adalah $1.209,1.690$, dan $2.019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah …
    A. $329$                                  C. $769$
    B. $481$                                  D. $810$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Misalkan $A=\{a,b,c\}$. Dengan demikian, diperoleh suatu sistem persamaan
$\{\begin{array}{l}a+b=1.209\\ a+c=1.690\\ b+c=2.019\end{array}$
Jumlahkan ketiga persamaan di atas untuk memperoleh
$$\begin{array}{rl}(a+b)+(a+c)+(b+c)& =1.209+1.690+2.019\\ 2a+2b+2c& =4.918\\ a+b+c& =2.459\end{array}$$
Karena $a+b=1.209$, maka diperoleh $c=2.459–1.209=1.250$
Karena $a+c=1.690$, maka diperoleh $b=2.459–1.690=769$
Karena $b+c=2.019$, maka diperoleh $a=2.459–2.019=440$
Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah
$c–a=1.250–440=810$
(Jawaban D)

Soal Nomor 13

Perhatikan gambar di bawah.

Jika $\mathrm{\angle }ABE+\mathrm{\angle }ACE+\mathrm{\angle }ADE={96}^{\circ }$, maka besar $\mathrm{\angle }AOE$ adalah …
    A. ${32}^{\circ }$                 B. ${48}^{\circ }$                      C. ${64}^{\circ }$                  D. ${84}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan bahwa sudut $ABE,ACE$, dan $ADE$ semuanya merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, yaitu busur $AE$. Ini berarti, dapat kita tuliskan
$\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }ACE=\mathrm{\angle }ADE=x$
sehingga
$\begin{array}{rl}x+x+x& ={96}^{\circ }\\ 3x& ={96}^{\circ }\\ x& ={32}^{\circ }\end{array}$
$AOE$ merupakan sudut pusat yang juga menghadap busur $AE$ sehingga
$\mathrm{\angle }AOE=2x=2(32)={64}^{\circ }$
Jadi, besar sudut $AOE$ adalah $\boxed{{\displaystyle {64}^{\circ }}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 14

Perhatikan gambar berikut.

Gambar tersebut adalah gambar kap lampu yang tidak mempunyai alas dan tutup. Alas dan tutup kap lampu berbentuk lingkaran. Luas bahan yang diperlukan untuk membuat kap lampu tersebut adalah $\cdots {\text{cm}}^2(\pi =3,14)$
    A. $1130,4$                      C. $565,2$
    B. $1120$                          D. $560,2$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan gambar kerucut utuh berikut.

Dengan menggunakan konsep kesebangunan segitiga siku-siku, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{h}{h+8}}& ={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2h& =h+8\\ h& =8\text{cm}\end{array}$
Misalkan $s=s_1+s_2$.
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{rl}s& =\sqrt{{12}^2+(8+8{)}^2}\\ & =\sqrt{144+256}\\ & =\sqrt{400}=20\text{cm}\end{array}$
Dengan menerapkan konsep kesebangunan, diperoleh
${\displaystyle \frac{12}{6}}={\displaystyle \frac{s}{s_1}}\Rightarrow 2={\displaystyle \frac{20}{s_1}}\iff s_1=10\text{cm}$
Luas bahan adalah selisih luas selimut kerucut besar dengan luas selimut kerucut kecil, yakni
$$\begin{array}{rl}L& =L_B–L_K\\ & =\pi Rs–\pi r{s}_1=3,14\cdot 12\cdot 20–3,14\cdot 6\cdot 10\\ & =3,14(6)(10)(2(2)–1)\\ & =3,14(6)(10)(3)=565,2{\text{cm}}^2\end{array}$$
Jadi, luas bahan untuk membuat kap lampu tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 565,2{\text{cm}}^2}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 15

Parabola $y=a{x}^2+bx+c$ mempunyai puncak di $(p,p)$ dan titik potong dengan sumbu-$Y$ di $(0,-p)$. Jika $p\ne 0$, maka nilai $b$ adalah …
    A. $1$                  B. $2$                      C. $4$                  D. $8$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Diketahui: $y=a{x}^2+bx+c$.
Karena absis titik puncak di $x=p$, maka kita peroleh
$-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=p\iff -b=2ap\iff b+2ap=0$
Titik potong parabola dengan sumbu-$Y$ di $(0,-p)$ sehingga substitusi $x=0$ dan $y=-p$ menghasilkan
$-p=a(0{)}^2+b(0)+c\iff c=-p$
Substitusikan $x=y=p$ pada persamaan $y=a{x}^2+bx–p$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}p& =a{p}^2+bp–p\\ a{p}^2+bp–2p& =0\\ p(ap+b–2)& =0\\ ap+b–2& =0\\ ap& =2–b\end{array}$
Substitusikan $ap=2–b$ ke $b+2ap=0$ sehingga didapat
$\begin{array}{rl}b+2(2-b)& =0\\ b+4–2b& =0\\ -b& =-4\\ b& =4\end{array}$
Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{{\displaystyle 4}}$ (Jawaban C)

Soal Nomor 16

$ABCD$ adalah jajar genjang. $E$ adalah titik tengah $AB$. Ruas garis $DE$ memotong $AC$ di titik $P$. Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah …
    A. $12:1$                  C. $6:1$
    B. $8:1$                      D. $4:1$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Perhatikan bahwa segitiga $AEP$ sebangun dengan segitiga $CDP$. Misakkan $QR$ merupakan tinggi jajar genjang $ABCD$, sekaligus garis tinggi kedua segitiga.
Dengan demikian, berlaku
$${\displaystyle \frac{AE}{QP}}={\displaystyle \frac{CD}{RP}}\iff {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}CD}{QP}}={\displaystyle \frac{CD}{RP}}\Rightarrow QP={\displaystyle \frac{1}{2}}RP.$$
Oleh karena itu, $QP={\displaystyle \frac{1}{3}}QR.$
Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dan segitiga $AEP$ adalah
$$\begin{array}{rl}{L}_{ABCD}:L_{AEP}& =AB\times QR:{\displaystyle \frac{AE\times QP}{2}}\\ & =2\times \cancel{AB}\times \cancel{QR}:{\displaystyle \frac{1}{2}}\cancel{AB}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\cancel{QR}\\ & =2:{\displaystyle \frac{1}{6}}=12:1\end{array}$$
(Jawaban A)

Soal Nomor 17

Dalam segitiga sama sisi $ABC$, titik $D,E$, dan $F$ masing-masing pada sisi $BC,CA$, dan $AB$ sehingga $\mathrm{\angle }AFE=\mathrm{\angle }BFD$;$\mathrm{\angle }BDF=\mathrm{\angle }CDE$, dan $\mathrm{\angle }CED=\mathrm{\angle }AEF$. Jika panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $8$ cm, maka luas segitiga $DEF$ adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.
    A. $2\sqrt{3}$                  C. $6\sqrt{3}$
    B. $4\sqrt{3}$                  D. $8\sqrt{3}$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.

Tinjau segitiga $ECD$. Jumlah sudut dalam segitiga adalah ${180}^{\circ }$. Dengan demikian, kita tulis
$\begin{array}{rl}60+(120–x)+(120–x)& =180\\ 300–2x& =180\\ -2x& =-120\\ x& =60\end{array}$
Ini berarti, semua bangun yang terbentuk merupakan segitiga sama sisi yang saling kongruen dengan sketsa seperti berikut.

Diketahui panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $s=8\text{cm}$. Luas segitiga $ABC$ adalah
$\begin{array}{rl}{L}_{ABC}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot s^2\sqrt{3}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (8{)}^2\sqrt{3}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2\end{array}$
Luas segitiga $DEF$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ dari luas segitiga $ABC$ sehingga
$L_{DEF}={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 16\sqrt{3}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$
(Jawaban B)

Soal Nomor 18

Perhatikan gambar berikut.

Jika panjang $AB=11$ cm, $BC=15$ cm, dan $EF=20$ cm, maka luas bangun $ABCDEF$ adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.
    A. $302$                  C. $402$
    B. $336$                  D. $426$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Diketahui: $AB=11,BC=15,EF=20$
Misalkan $O$ adalah titik perpotongan kedua diagonal pada bangun belah ketupat $BCDE$ sehingga didapat $BO=EF–AB=20–11=9$.
Perhatikan segitiga siku-siku $BOC$. Panjang $OC$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{array}{rl}OC& =\sqrt{B{C}^2–B{O}^2}=\sqrt{{15}^2–9^2}\\ & =\sqrt{225–81}=\sqrt{144}=12\end{array}$
Karena $BO=9$, maka $BD=2(9)=18$. Juga karena $OC=12$, maka $EC=2(12)=24$. Tinggi trapesium $AF$ sama dengan panjang $EO$, yaitu $AF=12$. Dengan demikian, luas bangun $ABCDEF$ dinyatakan oleh
$\begin{array}{rl}L& =L_{ABEF}+L_{BCDE}\\ & ={\displaystyle \frac{(AB+EF)\times AF}{2}}+{\displaystyle \frac{BD\times EC}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(11+20)\times {\cancel{12}}^6}{\cancel{2}}}+{\displaystyle \frac{{\cancel{18}}^9\times 24}{\cancel{2}}}\\ & =31\times 6+9\times 24\\ & =186+216=402\end{array}$
Jadi, luas bangun $ABCDEF$ adalah $\boxed{{\displaystyle 402{\text{cm}}^2}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 19

Terdapat empat kotak yang dinomori $1$ sampai $4$. Setiap kotak dapat diisi maksimum $5$ koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor lebih kecil. Jika tidak boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang mungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah …
    A. $25$                          C. $252$
    B. $70$                          D. $625$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Buatlah tabel berikut. Keterangan: $K1$ menyatakan Kotak 1, dst.
$$\begin{array}{|cccc|}\hline \text{K1}& \text{K2}& \text{Banyak Cara K3 danK4}& \text{Hasil}\\ 5& 5& 1+2+3+4+5& 15\\ 5& 4& 1+2+3+4& 10\\ 5& 3& 1+2+3& 6\\ 5& 2& 1+2& 3\\ 5& 1& 1& 1\\ 4& 4& 1+2+3+4& 10\\ 4& 3& 1+2+3& 6\\ 4& 2& 1+2& 3\\ 4& 1& 1& 1\\ 3& 3& 1+2+3& 6\\ 3& 2& 1+2& 3\\ 3& 1& 1& 1\\ 2& 2& 1+2& 3\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ & & & \sum =70\\ \hline\end{array}$$
Keterangan pada baris kedua tabel:
Cara pengisian koin pada kotak ke-$3$ dan $4$ apabila kotak $1$ dan kotak $2$ masing-masing diisi 5 koin adalah
$\begin{array}{rl}\{(1,1),& (2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),\\ & (4,1),\cdots ,(4,4),(5,1),\cdots ,(5,5)\}\end{array}$
sehingga banyak cara untuk kasus ini adalah
$1+2+3+4+5=15$.
Dengan demikian, banyak cara pengisian koin sesuai dengan syarat yang diminta adalah $\boxed{{\displaystyle 70}}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 20

Untuk setiap buku baru yang datang, seorang pustakawan bertugas untuk menempel label nomor di bagian samping buku dan menyampul buku tersebut dengan plastik transparan. Proses menempel label dan menyampul ini disebut pengerjaan. Agar label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan suatu buku harus dilakukan setelah menempel label nomornya. Jika ada tiga buku baru berbeda yang harus dikerjakan, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang dapat dilakukan oleh pustakawan tersebut adalah …
    A. $8$                  B. $48$                  C. $90$                  D. $720$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Banyaknya cara melakukan penempelan label dan penyampulan 3 buku adalah $6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$.
Banyak susunan ketika pelabelan buku pertama dilakukan sebelum penyampulannya adalah setengah dari $720$. Begitu juga untuk buku kedua dan ketiga. Dengan demikian, banyak kemungkinan urutan pengerjaannya adalah $720\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=90$.
(Jawaban C)

Soal Nomor 21

Password akun media sosial Ahmad terdiri dari enam karakter berbeda penyusun kata “NKRIgo”. Ahmad memintamu untuk menebak password-nya dengan memberikan dua informasi tambahan, yaitu “g” tidak bersebelahan dengan “o”, dan “R” bersebelahan dengan “I”. Jika kamu menggunakan seluruh informasi tersebut dengan baik, peluangmu untuk dapat langsung menebak dengan benar adalah …
    A. ${\displaystyle \frac{1}{36}}$                      C. ${\displaystyle \frac{1}{144}}$
    B. ${\displaystyle \frac{1}{72}}$                      D. ${\displaystyle \frac{1}{720}}$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

“NKRIgo” terdiri dari $6$ huruf yang semuanya berbeda dan $6!$ cara untuk menyusun kata sandi yang mungkin bila tidak diberikan syarat apapun.
Apabila R dan I harus bersebelahan, maka RI dianggap sebagai satu huruf sehingga sekarang tersisa $5$ huruf. Tetapi karena RI sendiri dapat disusun kembali sebanyak $2!=2$ cara (RI, IR), maka banyak cara seluruhnya ada $2\times 5!=240$.
Apabila R dan I harus bersebelahan serta g dan o juga harus bersebelahan, maka RI dan go masing-masing dianggap sebagai satu huruf sehingga hanya ada $4$ huruf. Tetapi karena RI dan go masing-masing dapat disusun sebanyak $2!=2$ cara, yaitu RI, IR, go, og, maka secara keseluruhan ada $2\times 2\times 4!=96$ cara.
Dengan demikian, banyak cara menyusun kata sandi apabila R dan I harus bersebelahan tetapi g dan o tidak boleh bersebelahan adalah $240–96=144$. Untuk itu, peluang kita menebak dengan benar sebesar $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{144}}}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 22

Misalkan terdapat $n$ nilai ulangan yang rata-ratanya $75$. Jika ada tambahan sebanyak $m$ nilai yang masing-masingnya $100$, maka rata-ratanya sekarang menjadi lebih dari $80$. Nilai ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ yang mungkin adalah …
    A. ${\displaystyle \frac{4}{11}}$                  B. ${\displaystyle \frac{4}{17}}$                  C. ${\displaystyle \frac{2}{9}}$                  D. ${\displaystyle \frac{5}{24}}$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Jumlah nilai untuk kondisi mula-mula adalah $75n$, sedangkan jumlah nilai untuk kondisi setelah ada tambahan adalah $75n+100m$. Karena rata-ratanya menjadi lebih dari $80$, maka kita tulis dan peroleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{75n+100m}{m+n}}& >80\\ 75n+100m& >80m+80n\\ 100m–80m& >80n–75n\\ 20m& >5n\\ {\displaystyle \frac{m}{n}}& >{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$
Nilai ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ harus lebih besar dari ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Berdasarkan alternatif pilihan jawaban yang diberikan, ${\displaystyle \frac{4}{11}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ sehingga nilai ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ yang mungkin adalah ${\displaystyle \frac{4}{11}}$ (Jawaban A)

Soal Nomor 23

Diketahui lima buah bilangan bulat positif yang sudah terurut, yaitu $n+1,n+2,2m-4,2m-2$, dan $m+4$. Rata-rata lima bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya. Nilai $m+n$ adalah …
    A. $5$                  B. $7$                  C. $10$                  D. $12$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Jangkauan adalah selisih nilai tertinggi dan nilai terendah pada sekumpulan data. Ini berarti,
$J=(m+4)–(n+1)=m–n+3$
Rata-ratanya sama dengan jangkauanya sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{rl}\bar{x}& ={\displaystyle \frac{(n+1)+(n+2)+(2m-4)+(2m-2)+(m+4)}{5}}\\ m–n+3& ={\displaystyle \frac{2n+5m+1}{5}}\\ \cancel{5m}–5n+15& =2n+\cancel{5m}+1\\ 7n& =14\\ n& =2\end{array}$$
Dengan demikian, $J=m–n+3=m–2+3=m+1$.
Karena diketahui bahwa mediannya sama dengan jangkauannya, maka kita peroleh: $J=2m–4$.
Dari sistem persamaan $\{\begin{array}{l}J=m+1\\ J=2m–4\end{array}$, kita peroleh
$\begin{array}{rl}m+1& =2m-4\\ m& =5\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle m+n=5+2=7}}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 24

Diagram batang berikut menyatakan nilai ulangan dari kelompok siswa laki-laki dan siswa perempuan.

Jika $M_1$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok siswa laki-laki, $M_2$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok siswa perempuan, dan $M$ adalah median nilai ulangan keseluruhan siswa, maka $M_1+M_2+M$ adalah …
    A. $150$                            C. $220$
    B. $200$                           D. $240$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Sajikan data pada diagram batang di atas ke dalam bentuk tabel seperti berikut.
$\begin{array}{|cccccc|}\hline \text{Nilai}& 60& 70& 80& 90& \text{Jumlah}\\ F_1& 5& 12& 1& 6& 24\\ F_2& 10& 3& 8& 6& 27\\ F& 15& 15& 9& 12& 51\\ \hline\end{array}$
Median adalah nilai tengah data terurut.
Dari tabel tersebut, diperoleh $M_1=70,M_2=80$, dan $M=70$.
Dengan demikian,
$M_1+M_2+M=70+80+70=240$
(Jawaban D)

Soal Nomor 25

Diketahui jumlah $20$ suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $1.390$. Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah $3$, maka selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah …
    A. $7$                  B. $17$                  C. $21$                  D. $24$

$\boxed{{\displaystyle Pembahasan}}$

Diketahui:
$\begin{array}{rl}{\text{S}}_{20}& =1.390\\ a& =3\\ n& =20\end{array}$
Ditanya: $b=\cdots ?$
Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmetika diperoleh
$\begin{array}{rl}{\text{S}}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}(2a+(n-1)b)\\ 1.390& ={\displaystyle \frac{20}{2}}(2(3)+(20-1)b)\\ 1.390& =10(6+19b)\\ 139& =6+19b\\ 133& =19b\\ b& ={\displaystyle \frac{133}{19}}=7\end{array}$
Jadi, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 7}}$ (Jawaban A)